Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形， ， ，平面底面， 为的中点， 是棱上的点， ， ， .

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若异面直线与所成角的余弦值为，求的值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）或.

【解析】试题分析：（1）推导出四边形BCDQ为平行四边形，从而CD∥BQ．又QB⊥AD．从而BQ⊥平面PAD，由此能证明平面PQB⊥平面PAD；（2）以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出t的值，即可得到比值。

解析：

（Ⅰ）证明：∵， ， 为的中点，

∴四边形为平行四边形，∴.

∵，∴，即.

又∵平面平面，且平面平面.

∵平面.

∵平面，∴平面平面.

（Ⅱ）∵， 为的中点，∴.

∵平面平面，且平面平面.

∴平面.

如图，以为原点建立空间直角坐标系，则， ， ， ， ，设，

∴， ， .

由是上的点，设，化简得.

设异面直线与所成角为，

则.

∴，计算得或，故或.

注：若只算出一个答案，扣1分；算出两个值即得满分.