Question

已知函数f（x）=是奇函数．
（1）求m的值；
（2）解关于x的不等式f^-1（x）＞b（b∈R，b是常数，b＜-1）．

Answer 1

解：（1）函数是奇函数，所以f（-x）+f（x）=0恒成立，
所以，
即，
即，
所以1-（mx）²=1-x²，
所以m=±1，
当m=1时f（x）=，无意义，
∴m=-1．
（2）可求得，f^-1（x）=，
f^-1（x）＞b即，
令t=2^x，t＞0，则，
即（t-1）[（b-1）t-（1+b）]＜0，
它的两个根为t₁=1，t₂=，
当b＜-1时，b-1＜0，，t₁-t₂=1-=-＞0，
∴2^x＜或2^x＞1，
∴x＜或x＞0．
分析：（1）利用函数的奇函数，求出m值即可．
（2）求出反函数，利用f^-1（x）＞b，通过换元法，结合b的范围，求解不等式即可．
点评：本题考查函数的奇偶性，反函数的知识，含参数的不等式的解法是本题的难点，考查转化思想，计算能力．