题目内容
△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，且b=1，c=2，如果△ABC是锐角三角形，则a的取值范围是
（
，
）
| 3 |
| 5 |
（
，
）
．| 3 |
| 5 |
分析：由三角形两边之和大于第三边，解得1＜a＜3．然后分2≤a＜3、1＜a＜2两种情况确定三角形的最大边，根据△ABC是锐角三角形利用余弦定理建立关于a的不等式，解之得到a的取值范围，最后加以综合可得答案．
解答：解：由三角形两边之和大于第三边，得|b-c|＜a＜b+c，可得1＜a＜3，
△ABC是锐角三角形，即三角形的最大角是锐角．
①当2≤a＜3时，由b=1且c=2，可得最大边为a，
∴cosA=
＞0，即b2+c2-a2＞0，
得12+22-a2＞0，解之得2≤a＜
；
②当1＜a＜2时，可得最大边为c，
cosC=
＞0，即b2+a2-c2＞0，
得12+a2-22＞0，解之得
＜a＜2．
综上所述，可得边a的取值范围是（
，
）．
故答案为：（
，
）
△ABC是锐角三角形，即三角形的最大角是锐角．
①当2≤a＜3时，由b=1且c=2，可得最大边为a，
∴cosA=
| b2+c2-a2 |
| 2bc |
得12+22-a2＞0，解之得2≤a＜
| 5 |
②当1＜a＜2时，可得最大边为c，
cosC=
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
得12+a2-22＞0，解之得
| 3 |
综上所述，可得边a的取值范围是（
| 3 |
| 5 |
故答案为：（
| 3 |
| 5 |
点评：本题给出锐角三角形的两条边之长，求第三边的取值范围．着重考查了用余弦定理解三角形、三角形状的判断与不等式的解法等知识，属于中档题．
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