题目内容
把一个周长为24cm的长方形围成一个圆柱（即作为圆柱的侧面），当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为（ ）
| A、2：1 | B、л：1 | C、1：2 | D、2：л |
分析：设圆柱高为x，即长方形的宽为x，则圆柱底面周长即长方形的长为12-x，圆柱底面半径：R=
，圆柱的体积V=
，利用导数法分析出函数取最大值时的x值，进而可得答案．
| 12-x |
| 2π |
| x3-24x2+144x |
| 4π |
解答：解：设圆柱高为x，即长方形的宽为x，
则圆柱底面周长即长方形的长为
=12-x，
∴圆柱底面半径：R=
∴圆柱的体积V=πR2h=π（
）2x=
，
∴V′=
=
，
当x＜4或x＞12时，V'＞0，函数单调递增；
当4＜x＜12时，y'＜0，函数单调递减；
当x＞12时，函数无实际意义
∴x=4时体积最大
此时底面周长=12-x=8，
该圆柱底面周长与高的比：8：4=2：1
故选：A
则圆柱底面周长即长方形的长为
| (24-2x) |
| 2 |
∴圆柱底面半径：R=
| 12-x |
| 2π |
∴圆柱的体积V=πR2h=π（
| 12-x |
| 2π |
| x3-24x2+144x |
| 4π |
∴V′=
| 3x2-48x +144 |
| 4π |
| 3(x-4)(x-12) |
| 4π |
当x＜4或x＞12时，V'＞0，函数单调递增；
当4＜x＜12时，y'＜0，函数单调递减；
当x＞12时，函数无实际意义
∴x=4时体积最大
此时底面周长=12-x=8，
该圆柱底面周长与高的比：8：4=2：1
故选：A
点评：本题考查的知识点是旋转体，圆柱的几何特征，其中将圆柱的体积表示为x的函数，进而转化为函数最值问题，是解答的关键．
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