Question

已知函数f（x）=ax²-lnx（a为常数）．
（1）当a=

1

2

时，求f（x）的单调递减区间；
（2）若a＜0，且对任意的．x∈[1，e]，f（x）≥（a-2）x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据题意，先求函数y=

1

2

x²-lnx的定义域，进而求得其导数，即y′=x-

1

x

，令其导数小于等于0，结合函数的定义域，解可得f（x）的单调递减区间．
（2）若对于任意x∈[1，e]，f（x）≥（a-2）x恒成立，则必有x∈[1，e]时，ax²-lnx-（a-2）x≥0恒成立，分离参数a后，利用函数的最大值求解即可．

解答：解：（1）对于函数y=

1

2

x²-lnx，易得其定义域为{x|x＞0}，
y′=x-

1

x

=

x2-1

x

，
令

x2-1

x

≤0，
又由x＞0，则

x2-1

x

≤0?x²-1≤0，且x＞0；
解可得0＜x≤1，
即函数y=

1

2

x²-lnx的单调递减区间为（0，1]，
（2）由已知得x∈[1，e]时，f（x）≥（a-2）x恒成立，即x∈[1，e]时，ax²-lnx-（a-2）x≥0恒成立．
即a≥

lnx-2x

x2-x

，
设g（x）=

lnx-2x

x2-x

，g′（x）=

( 1 x -2)(x2-x)-(lnx-2x)(2x-1)

(x2-x)2

，
当x＞1时，g'（x）＞0，
∴g（x）在区间[1，+∞）上递增，
∴当x∈[1，e]时，g（x）≤g（e）=

1-2e

e2-e

，
故若a＜0，且对任意的．x∈[1，e]，f（x）≥（a-2）x恒成立，实数a的取值范围为a≥

1-2e

e2-e

．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值以及由函数恒成立的问题求参数的取值范围，求解本题关键是记忆好求导的公式以及极值的定义，对于函数的恒成立的问题求参数，要注意正确转化，恰当的转化可以大大降低解题难度．