Question

（本小题满分14分）

动圆G与圆外切，同时与圆内切，设动圆圆心G的轨迹为。

（1）求曲线的方程；

（2）直线与曲线相交于不同的两点，以为直径作圆，若圆C与轴相交于两点，求面积的最大值；

（3）已知，直线与曲线相交于两点（均不与重合），且以为直径的圆过点，求证：直线过定点，并求出该点坐标。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2） ；(3)直线过定点，定点坐标为

【解析】本试题主要是考查了椭圆方程的求解，以及直线与椭圆方程的位置关系的综合运用。

（1）   利用圆圆位置关系，得到圆心距与半径的关系式，从而得到点的轨迹方程。

（2）   设出直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理得到结论。

（3）   设直线与椭圆联立方程组，利用过圆心得到垂直关系，结合韦达定理得到结论。

解：（1）设圆G的半径为r，依题意得：，

所以，所以G点轨迹是以为焦点的椭圆，

所以曲线的方程是………… 4分

（2）依题意，圆心为．

 由 得.     ∴ 圆的半径为．     

∵ 圆与轴相交于不同的两点，且圆心到轴的距离，

当且仅当即时，等号成立

所以面积的最大值是…………………8分

(3)设，由得

，

，.

以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，

，，

，

，解得

，且满足.

当时，，直线过定点与已知矛盾；

当时，，直线过定点

综上可知，直线过定点，定点坐标为………………… 14分