Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD垂直于底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD=90°，且AB=2AD=2DC=2PD=4，E为PA的中点．
（1）如图，若正视方向与AD平行，请在下面（答题区）方框内作出该几何体的正视图并求出正视图面积；
（2）证明：DE∥平面PBC；
（3）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析：（1）利用三视图的定义作出正视图．（2）利用线面平行的判定定理判断线面平行．（3）利用锥体的体积公式求体积．

解答：解（1）正视图如下：（没标数据扣1分）…（3分）
主视图面积S=

1

2

×4×2=4cm2…（5分）
（2）设PB的中点为F，连接EF，CF…（6分）
∵E，F分别是PA，PB的中点
∴EF∥AB
又DC∥AB∴EF∥DC
且EF=DC=

1

2

AB…（8分）
故四边形CDEF是平行四边形，
即可得ED∥CF，（9分）
又ED?平面PBC，CF?平面，
∴ED∥平面PBC（10分）
（3）∵PD⊥底面ABCD，∴PD=2是四棱锥P-ABCD的高  （11分）
∵AB=4，DC=2，AD=2
∴直角梯形ABCD的面积是S底=

1

2

AD•(AB+DC)=

1

2

×2×(2+4)=6（cm²）（13分）
∴四棱锥P-ABCD的体积是V=

1

3

S底•PD=

1

3

×6×2=4

&(cm3)

（14分）

点评：本题主要考查线面平行的判定以及锥体的体积公式，要求熟练掌握相应的判定定理．