Question

已知△ABC的周长为4(

2

+1)，且sinB+sinC=

2

sinA．
（Ⅰ）求边长a的值；
（Ⅱ）若S_△ABC=3sinA，求cosA的值．

Answer 1

分析：（I）根据正弦定理把sinB+sinC=

2

sinA转化为边的关系，进而根据△ABC的周长求出a的值．
（II）通过面积公式求出bc的值，代入余弦定理即可求出cosA的值．

解答：解：（I）根据正弦定理，sinB+sinC=

2

sinA
可化为b+c=

2

a．
联立方程组

a+b+c=4( 2 +1) b+c= 2 a

，
解得a=4．
∴边长a=4；
（II）∵S_△ABC=3sinA，
∴

1

2

bcsinA=3sinA，bc=6．
又由（I）可知，b+c=4

2

，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

(b+c)2-2bc-a2

2bc

=

1

3

．

点评：本题主要考查了余弦定理、正弦定理和面积公式．这几个公式是解决三角形边角问题的常用公式，应熟练记忆，并灵活运用．