Question

若f（x）=1-2a-2acosx+2cos²x（

π

3

≤x＜

4π

3

）的最小值为g（a）．
（1）求g（a）的表达式；
（2）当g（a）=1时，求a的值，并求此时f（x）的最大值和取得最大值时的x的值集合．

Answer 1

分析：（1）设t=cosx，可得-1≤t≤1，函数f（x）化为关于t的二次函数，再利用二次函数的性质求得函数f（x）在[-1，

1

2

]上的最小值．
（2）当g（a）=1时，由题意可得-

a2

2

-2a+1=1，且-2＜a≤1，求得a的值，再根据f（x）的解析式求得此时f（x）的最大值和取得最大值时的x的值集合．

解答：解：（1）设t=cosx，f(x)=2t2-2at-2a+1=2(t-

a

2

)2-

a2

2

-2a+1，t∈[-1，

1

2

]．
①当

a

2

≤-1时，即a≤-2时，函数f（x）在[-1，

1

2

]上为增函数，f（x）_min=f（-1）=3．
②当-1＜

a

2

≤-

1

2

时，即-2＜a≤1时，f(x)min=-

a2

2

-2a+1．
③当

a

2

＞1时，即 a＞2时，函数f（x）在[-1，

1

2

]上为减函数，f（x）_min=f（

1

2

）=

3

2

-3a，
综上可得，g（a）=

3 ，a≤-2 - a2 2 -2a+1 ，-2＜a≤1 3 2 -3a ，a＞1

．
（2）当g（a）=1时，由题意可得-

a2

2

-2a+1=1，-2＜a≤1，求得a=0．
故有 f(x)=2cos2x+1=2t2+1(-1≤t≤

1

2

)?f(x)max=3，
此时cosx=-1，解得x=π+2kπ（k∈Z），
因此取得最大值时的x的值集合为{x|x=π+2kπ（k∈Z）}．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，余弦函数的定义域和值域，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．