Question

设函数f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（1）讨论f（x）在定义域内的单调性；
（2）是否存在最小的正整数N，使得当n≥N时，不等式ln

n+1

n

＞

n-1

n3

恒成立．

Answer 1

分析：（1）确定函数定义域为（-1，+∞），求导数，考查方程2x²+2x+b=0在（-1，+∞）上解的情况，利用导数的正负可得函数的单调性；
（2）对于函数f（x）=x²-ln（x+1），令函数h（x）=x³-f（x）=x³-x²+ln（x+1），证明x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0，再取x=

1

n

∈(0，+∞)，即可得到结论．

解答：解：（1）函数定义域为（-1，+∞），求导数得f′(x)=2x+

b

x+1

=

2x2+2x+b

x+1

记g（x）=2x²+2x+b…（3分）
①当g（x）=0在（-1，+∞）上无解，即b≥

1

2

时，f（x）在（-1，+∞）单调递增
②当g（x）=0在（-1，+∞）有两个不等实根，即2x²+2x+b=0在（-1，+∞）有两个不等实根，
则

△=4-8b＞0 g(-1)＞0

，即0＜b＜

1

2

时，f（x）在(-1，

-1- 1-2b

2

)单调递增，
在(

-1- 1-2b

2

，

-1+ 1-2b

2

)单调递减，在(

-1+ 1-2b

2

，+∞)单调递增
③当g（x）在（-1，+∞）仅有一实根，f（x）在(-1，

-1+ 1-2b

2

)单调递减，在(

-1+ 1-2b

2

，+∞)单调递增…（9分）
（2）对于函数f（x）=x²-ln（x+1），令函数h（x）=x³-f（x）=x³-x²+ln（x+1），
则h′(x)=3x2-2x+

1

x+1

=

3x3+(x-1)2

x+1

，∴当x∈[0，+∞）时，h′（x）＞0，
所以函数h（x）在[0，+∞）上单调递增，又h（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0，
即x²＜x³+ln（x+1）恒成立．
取x=

1

n

∈(0，+∞)，则有ln

n+1

n

＞

1

n2

-

1

n3

恒成立．
显然，存在最小的正整数N=1，使得当n≥N时，不等式ln

n+1

n

＞

1

n2

-

1

n3

恒成立．

点评：本题考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．