题目内容
已知数列{an}满足：a1=1，an+1=
(n∈N*)．若bn+1=(n-λ)(
+1)，b1=-λ，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范为（ ）
| an |
| an+2 |
| 1 |
| an |
分析：a1=1，an+1=
(n∈N*)，分别令n=1，2，3，依次求出a2=
，a3=
，a4=
，由此猜想an=
，并用用数学归纳法证明．由an=
．知bn+1=（n-λ）（
+1）=（n-λ）•2n，再由b1=-λ，数列{bn}是单调递增数列，能求出λ的取值范围．
| an |
| an+2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 7 |
| 1 |
| 15 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| an |
解答：解：∵a1=1，an+1=
(n∈N*)，
∴a2=
=
，
a3=
=
，
a4=
=
，
由此猜想an=
．
用数学归纳法证明：
①当n=1时，a1=
=1，成立；
②假设n=k时，等式成立，即ak=
，
则当n=k=1时，ak+1=
=
=
，成立．
∴an=
．
∴bn+1=（n-λ）（
+1）=（n-λ）•2n，
∴b2=（1-λ）•2=2-2λ，
∵b1=-λ，数列{bn}是单调递增数列，
∴b1=-λ＜b2=2-2λ，
解得λ＜2．
故选C．
| an |
| an+2 |
∴a2=
| 1 |
| 1+2 |
| 1 |
| 3 |
a3=
| ||
|
| 1 |
| 7 |
a4=
| ||
|
| 1 |
| 15 |
由此猜想an=
| 1 |
| 2n-1 |
用数学归纳法证明：
①当n=1时，a1=
| 1 |
| 21-1 |
②假设n=k时，等式成立，即ak=
| 1 |
| 2k-1 |
则当n=k=1时，ak+1=
| ak |
| ak+2 |
| ||
|
| 1 |
| 2k+1-1 |
∴an=
| 1 |
| 2n-1 |
∴bn+1=（n-λ）（
| 1 |
| an |
∴b2=（1-λ）•2=2-2λ，
∵b1=-λ，数列{bn}是单调递增数列，
∴b1=-λ＜b2=2-2λ，
解得λ＜2．
故选C．
点评：本题考查数列的通项公式的求法及其应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意数学归纳法和等价转化思想的合理运用．
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