Question

定义：区间[x₁，x₂]（x₁＜x₂）的长度等于x₂-x₁．函数y=|log_ax|（a＞1）的定义域为[m，n]（m＜n），值域为[0，1]．若区间[m，n]的长度的最小值为

3

4

，则实数a的值为（　　）

• A、

  5

  4

• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：先作出函数的图象，再根据值域为[0，1]结合图形，定义域可以为[

1

a

，1]，[1，a]，[

1

a

，b]（1≤b≤a），[c，a]（

1

a

≤c≤1）再由区间[m，n]的长度的最小值为

3

4

，确定定义域求解．

解答：解：如图所示：∵值域为[0，1]．
∴定义域[m，n]（a＞1），可以是[

1

a

，1]，[1，a]，[

1

a

，b]（1≤b≤a），[c，a]（

1

a

≤c≤1）；
又∵区间[m，n]的长度的最小值为

3

4

，
∴这样的区间必为单调区间，仅有[

1

a

，1]，[1，a]此两区间符合要求
∴1-

1

a

=

3

4

，或a-1=

3

4

∴a=4或a=

7

4

，考察四个选项，应选D
故选D

点评：本题主要考查对数函数的函数变换及其图象和性质的应用，作为客观题，可灵活地选择方法，提高解题效率．