题目内容
已知等差数列{an}的首项及公差均为正数，令bn=
+
(n∈N*，n＜2012)．
（1）若等差数列{an}的首项为20，公差为1，则b6=
（2）当bk是数列{bn}的最大项时，k=
| an |
| a2012-n |
（1）若等差数列{an}的首项为20，公差为1，则b6=
50
50
；（2）当bk是数列{bn}的最大项时，k=
1006
1006
．分析：（1）依题意可求得等差数列{an}的通项an=19+n，从而可求得b6；
（2）〖特值法〗不妨令an=n，可求得
=2
+2012，利用二次函数的性质可得答案；
〖直接法〗由于an＞0，利用基本不等式且bn=
+
≤
=2
即可求得答案；
（2）〖特值法〗不妨令an=n，可求得
| b | 2 n |
| -(n-1006)2+10062 |
〖直接法〗由于an＞0，利用基本不等式且bn=
| an |
| a2012-n |
| 2(an+a2012-n) |
| a1006 |
解答：解：（1）∵等差数列{an}的首项为20，公差为1，
∴an=19+n，则b6=
+
=
+
=50；
（2）〖特值法〗不妨令an=n，则bn=
+
，
于是
=2012+2
=2012+2
，
∴n=1006时取得最大值，故k=1006．
〖直接法〗由于an＞0，且bn=
+
≤
=
=2
；
当且仅当an=a2012-n（n∈N*，n＜2012），即n=2012-n，也即n=1006时取“=”．
故k=1006．
故答案为：（1）50；（2）1006
∴an=19+n，则b6=
| a6 |
| a2006 |
| 25 |
| 2025 |
（2）〖特值法〗不妨令an=n，则bn=
| n |
| 2012-n |
于是
| b | 2 n |
| -n2+2012n |
| -(n-1006)2+10062 |
∴n=1006时取得最大值，故k=1006．
〖直接法〗由于an＞0，且bn=
| an |
| a2012-n |
| 2(an+a2012-n) |
| 4a1006 |
| a1006 |
当且仅当an=a2012-n（n∈N*，n＜2012），即n=2012-n，也即n=1006时取“=”．
故k=1006．
故答案为：（1）50；（2）1006
点评：本题考查等差数列的通项公式，考查数列的函数特性，考查特值法与基本不等式法的综合应用，属于中档题．
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已知等差数列{an}中，a4a6=-4，a2+a8=0，n∈N*．