Question

设函数y=

1

x

图象上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形OB₁A₁，A₁B₂A₂，…，直角顶点在函数y=

1

x

的图象上，设A_n的坐标为（a_n，0），A₀为原点．
（1）求a₁，并求出a_n与a_n-1之间的关系式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）bn=

2

an-1+an

(n≥2，n∈N*)，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）由题意，a1=

a1

2

+

2

a1

，可得a₁的值，求出B_n的坐标，代入曲线方程，可得结论；
（2）确定数列{an2}是首项为4，公差为4的等差数列，可求数列{a_n}的通项公式；
（3）确定通项，利用累加法可求和．

解答：解：（1）由题意，a1=

a1

2

+

2

a1

，解得a₁=2．
过B_n点作B_nH⊥x轴，垂足为H，
∵△A_n-1B_nA_n为等腰直角三角形，且B_n为直角顶点，
∴|B_nH|=

1

2

|A_n-1A_n|=

an-an-1

2

，
∴B_n点的纵坐标为

an-an-1

2

，
∵△A_n-1B_nA_n为等腰直角三角形，且B_n为直角顶点，
∴H点为线段A_n-1A_n的中点，
∴H点横坐标为

an+an-1

2

，
∵B_nH⊥x轴，∴B_n点的横坐标也为

an+an-1

2

，
∵B_n点为函数y=

1

x

（x＞0）图象上的点，
∴

an+an-1

2

•

an-an-1

2

=1
∴an2-an-12=4．
（2）∵an2-an-12=4，a₁=2，
∴数列{an2}是首项为4，公差为4的等差数列，
∴an2=4n，
∴an=2

n

．
（3）∵b_n=

2

an-1+an

=

1

n-1 + n

=

n

-

n-1

，
∴S_n=（

1

-0）+（

2

-

1

）+…+（

n

-

n-1

）=

n

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，考查函数与数列知识的综合，确定数列的通项是关键．