题目内容

在等差数列{a_n}中，a₁=1，a₅=9，在数列{b_n}中，b₁=2，且b_n=2b_n-1-1，（n≥2）
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设 $数学公式$ ，求T_n．

解：（1）由等差数列的通项公式可得，d= $\text{[math]}$ =2
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1
由b_n=2b_n-1-1可得b_n-1=2（b_n-1-1）（n≥2）
∴{b_n-1}是以b₁-1=1为首项，2为公比的等比数列
∴b_n-1=2^n-1
故b_n=2^n-1+1
（2） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ①
则 $\text{[math]}$ ②
①-②可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$
分析：（1）由已知可求公差d，代入等差数列的通项公式可求a_n，由b_n=2b_n-1-1可得b_n-1=2（b_n-1-1）（n≥2），则可得{b_n-1}是等比数列，结合等比数列的通项公式可求b_n
（2）由（1）可得T_n═ $\text{[math]}$ ，结合所求和的特点，考虑利用错位相减求解．
点评：本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，构造等比求数列的通项公式，错位相减求数列的和是数列求和中的重点与难点．

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