Question

对于函数，若存在，使，则称是的一

个＂不动点＂.已知二次函数

（1）当时，求函数的不动点；

（2）对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若的图象上两点的横坐标是的不动点，

且两点关于直线对称，求的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）和（2）（3）

【解析】（1）将a、b代入函数，根据条件“若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，则称x₀为f（x）的不动点”建立方程解之即可；

（2）对任意实数b，f（x）恒有两个相异不动点转化成对任意实数b，ax²+（b+1）x+b-1=x恒有两个不等实根，再利用判别式建立a、b的不等关系，最后将b看成变量，转化成关于b的恒成立问题求解即可．

(3)在（2）的条件下，可得由得,由题意知，，从而可确定AB的中点E的坐标，从而可得,整理后得，这样就转化为b关于a的函数问题来解决即可.

解：（1），是的不动点，则，

得或，函数的不动点为和．……………… 3分

（2）∵函数恒有两个相异的不动点，∴恒有两

个不等的实根，对恒成立，

∴，得的取值范围为．  …………7分

（3）由得，由题知，，

设中点为，则的横坐标为，∴，

∴，当且仅当，即时等号

成立，

∴的最小值为．………………………… 12分