Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．
（1）求证：BC⊥平面ACFE；
（2）若点M在线段EF上移动，试问是否存在点M，使得平面MAB与平面FCB所成的二面角为45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由AB∥CD且AD=DC，得∠DAC=∠DCA=∠CAB，得根据等腰梯形的性质结合题中的数据算出∠CAB=

1

2

∠DAB=30°，得△ABC中∠ACB=90°，从而AC⊥BC．最后根据平面ACEF⊥平面ABCD，结合面面垂直的性质定理即可证出BC⊥平面ACFE；
（2）以C为坐标原点，AC、BC、CF所在直线分别为x轴、y轴、z轴轴，建立空间直角坐标系如图．结合题中数据得到A、B的坐标，设M（a，0，1）从而得出

AB

、

BM

的坐标，利用垂直向量数量积为0的方法算出

m

=（1，

3

，

3

-a）是平面AMB的一个法向量，结合

n

=(1，0，0)是平面FCB的一个法向量．利用空间向量的夹角公式算出向量

m

、

n

的余弦之值，由平面MAB与平面FCB所成的二面角为45°，建立关于a的方程并得到此方程无实数解．由此可得不存在在点M，使得平面MAB与平面FCB所成的二面角为45°．

解答：解：（1）∵在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC，∴∠DAC=∠DCA=∠CAB，
∵梯形ABCD是等腰梯形，得∠DAB=∠ABC=60°，
∴∠CAB=

1

2

∠DAB=30°，得△ABC中，∠ACB=180°-（∠CAB+∠ABC）=90°，即AC⊥BC，（3分）
又∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD=AC，BC?平面平面ABCD，
∴BC⊥平面ACFE；（5分）
（2）由（1）知AC、BC、CF两两互相垂直，以C为坐标原点，AC、BC、CF所在直线分别为x轴、y轴、z轴轴，
建立空间直角坐标系如图，
∵Rt△ABC中，BC=1，∠ABC=60°，∴AC=BCtan60°=

3

，
可得A、B的坐标分别为A（

3

，0，0），B（0，1，0），设M（a，0，1），则

AB

=(-

3

，1，0)，

BM

=(a，-1，1)，（7分）
设

m

=（x，y，z）是平面AMB的一个法向量，则

m • AB =- 3 x+y=0 m • BM =ax-y+z=0

（9分）
取x=1，得

m

=（1，

3

，

3

-a），（10分）
∵

n

=(1，0，0)是平面FCB的一个法向量，
∴若平面MAB与平面FCB所成的二面角为45°，得
cos＜

m

，

n

＞=

1×1+ 3 ×0+( 3 -a)×0

1× 1+3+( 3 -a)2

=

2

2

（12分）
化简，得2+（

3

-a）²=0，显然此方程无实数解，（13分）
因此，线段EF上不存在点M使得平面MAB与平面FCB所成的二面角为45°．（14分）

点评：本题给出特殊多面体，求证线面垂直并探索二面角的大小问题．着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和利用空间向量研究平面与平面所成角等知识点，属于中档题．