题目内容

已知函数f（x）=ax+ $数学公式$ +c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1．
（I）用a表示出b，c；
（II）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

y解：（Ⅰ） $\text{[math]}$ ，
则有 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， $\text{[math]}$ ，
令g（x）=f（x）-lnx=ax+ $\text{[math]}$ +1-2a-lnx，x∈[1，+∞）
则g（l）=0， $\text{[math]}$
（i）当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
若 $\text{[math]}$ ，则g′（x）＜0，g（x）是减函数，
所以g（x）＜g（l）=0，f（x）＞lnx，故f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒不成立．
（ii） $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$
若f（x）＞lnx，故当x≥1时，f（x）≥lnx
综上所述，所求a的取值范围为 $\text{[math]}$
分析：（I）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求得切线的斜率，以及切点在函数f（x）的图象上，建立方程组，解之即可；
（II）先构造函数g（x）=f（x）-lnx=ax+ $\text{[math]}$ +1-2a-lnx，x∈[1，+∞），利用导数研究g（x）的最小值，讨论a的范围，分别进行求解即可求出a的取值范围．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题等基础题知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，分类讨论思想，属于基础题．