Question

已知过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点，N为弦AB的中点；又函数f（x）=asinx+3bcosx图象的一条对称轴方程是x=

π

6

，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率e与直线ON的斜率；
（Ⅱ）对于任意一点M∈C，总有等式

OM

=λ

OA

+μ

OB

成立，求证：λ²+μ²为定值．

Answer 1

分析：（I）根据函数图象的一条对称轴方程是x=

π

6

，得f(

π

6

-x)=f(

π

6

+x)，取x=

π

6

得，f(0)=f(

π

3

)，整理得a与b的关系式，从而得出椭圆C的离心率；又椭圆C的方程可化为x²+3y²=3b²将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得P直线ON的斜率；
（II）

OA

与

OB

是平面内的两个不共线的向量，由平面向量坐标运算得到：x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂，又M∈C，得：λ（x₁²+3y₁²）+μ²（x₂²+3y₂²）+2λμ（x₁x₂+3y₁y₂）=3b²结合（I）中方程根与系数的关系最后化简得：λ²+μ²为定值．

解答：解：（I）因为函数图象的一条对称轴方程是x=

π

6

，
所以对任意的实数x都有f(

π

6

-x)=f(

π

6

+x)，
取x=

π

6

得，f(0)=f(

π

3

)，整理得a=

3

b，于是椭圆C的离心率e=

c

a

=

6

3

，（3分）
由a=

3

b知，椭圆C的方程可化为x²+3y²=3b²，①
又椭圆C的右焦点F为(

2

b，0)，直线AB的方程为y=x-

2

b，②
②代入①展开整理得：4x2-6

2

bx+3b2=0，③
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB的中点N（x₀，y₀），
则x₁，x₂是方程③的两个不等的实数根，由韦达定理得，

x1+x2= 3 2 2 b x1x2= 3 4 b2

∴x₀=

3 2

4

b，y0=x0-

2

b=-

2

4

b，于是直线ON的斜率kON=

y0

x0

=-

1

3

．
此问用点差法也可（8分）
（II）

OA

与

OB

是平面内的两个不共线的向量，由平面向量坐标运算知（x，y）=λ（x₁，y₁）+μ（x₂，y₂），
∴x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂，（10分）
又M∈C，代入①式得：（λx₁+μx₂）²+3（λy₁+μy₂）²=3b²，
展开整理得：λ（x₁²+3y₁²）+μ²（x₂²+3y₂²）+2λμ（x₁x₂+3y₁y₂）=3b²，④（10分）

又因为x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1- 2 b)(x2- 2 b) =4x1x2-3 2 b(x1+x2)+6b2 =3b2-9b2+6b2=0，

（12分）
又A、B两点在椭圆上，故有x₁²+3y₁²=3b²，x₂²+3y₂²=3b²
代入④式化简得：λ²+μ²=1（14分）

点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、三角函数的图象与性质、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．