Question

（1）已知实数集A={x|a₁x=b₁，a₁b₁≠0}，B={x|a₂x=b₂，a₂b₂≠0}，证明：A=B的充要条件是

a1

a2

=

b1

b2

；
（2）已知实数集A={x|a₁x²+b₁x+c₁=0，a₁b₁c₁≠0}，B={x|a₂x²+b₂x+c₂=0，a₂b₂c₂≠0}，问

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

是A=B的什么条件？请给出说明过程；

Answer 1

分析：（1）根据实数集A={x|a₁x=b₁，a₁b₁≠0}，B={x|a₂x=b₂，a₂b₂≠0}，根据等式的性质，易将A=B等价变形，易得A=B?

a1

a2

=

b1

b2

，即A=B的充要条件是

a1

a2

=

b1

b2

；
（2）可以先假定

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

，然后判断A=B是否成立，然后再假设A=B成立，然后分A与B是否为空集两种情况进行分类讨论，即可得到结论．

解答：解：（1）∵A={x|x=

b1

a1

}，B={x|x=

b2

a2

}，
∴A=B?

b1

a1

=

b2

a2

?

a1

a2

=

b1

b2

；（4分）
∴A=B的充要条件是

a1

a2

=

b1

b2

；
（2）“

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

”是“A=B”的充分不必要条件．（6分）
证明：充分性：
若x₀∈A，即x₀是方程a₁x²+b₁x+c₁=0的解，则a₁x₀²+b₁x₀+c₁=0，
而非零实数a₁，b₁，c₁和a₂，b₂，c₂满足

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

，
设

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

=k≠0，则可得k（a₂x₀²+b₂x₀+c₂）=0，
所以a₂x₀²+b₂x₀+c₂=0，即x₀是方程a₂x²+b₂x+c₂=0的解，即x₀∈B，
于是A⊆B．同理可证B⊆A，所以A=B（10分）
必要性不成立，反例：如A=B=?．（12分）

点评：本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，集合的相等，充要条件，根据等式的性质，结合集合相等的定义，对集合相等进行等价转化，是解答本题的关键．