Question

在平面直角坐标系xOy中,点P到两点(0,)、(0,)的距离之和等于4,设点P的轨迹为C.

(1)写出C的方程;

(2)设直线y=kx+1与C交于A、B两点,k为何值时⊥?此时||的值是多少?

Answer 1

答案：本题主要考查平面向量,椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识,考查综合运用解析几何知识解决问题的能力.

解:(1)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以(0,),(0,)为焦点,长半轴为2的椭圆.

它的短半轴b==1,

故曲线C的方程为x²+=1.                                               

(2)设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),其坐标满足

消去y并整理得(k²+4)x²+2kx-3=0,

故x₁+x₂=,x₁x₂=.                                          

⊥,即x₁x₂+y₁y₂=0.

而y₁y₂=k²x₁x₂+k(x₁+x₂)+1.

于是x₁x₂+y₁y₂=+1=

所以k=±时,x₁x₂+y₁y₂=0,故⊥.                                        

当k=±时,x₁+x₂=,x₁x₂=.

||==,

而(x₂-x₁)²=(x₂+x₁)²-4x₁x₂

=+4×=.

所以||=.