Question

已知等差数列{a_n}的首项为a，公差为b；等比数列{b_n}的首项为b，公比为a，其中a，b∈N₊，且a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若对于任意n∈N^*，总存在m∈N^*，使a_m+3=b_n，求b的值；
（Ⅲ）甲说：一定存在b使得2an＞bn2对n∈N^*恒成立；乙说：一定存在b使得2an＜bn2对n∈N^*恒成立．你认为他们的说法是否正确？为什么？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a＜b＜a+b＜ab＜a+2b，a，b∈N*，知

a+b＜ab ab＜a+2b.

由此能求出a的值．
（Ⅱ）a_m=2+（m-1）b，b_n=b•2^n-1，由a_m+3=b_n得5+（m-1）b=b•2^n-1．由此能求出b的值．
（Ⅲ）若甲正确，则2^{2+（n-1）（b-2）}＞b²对n∈N*恒成立，当n=1时，2²＞b²，无解，所以甲所说不正确．若乙正确，则2^{2+（n-1）（b-2）}＜b²对n∈N*恒成立，当n=2时，2^b＜b²，只有在b=3时成立，而当n=3时2⁴＜3²不成立，所以乙所说也不成立．

解答：解：（Ⅰ）∵a＜b＜a+b＜ab＜a+2b，a，b∈N*，
∴

a+b＜ab ab＜a+2b.

∴

a＞ b b-1 a＜ 2b b-1 .

∴

a＞1+ 1 b-1 a＜2+ 2 b-1 .

∴

a＞1 a＜4

，
∴a=2或a=3．
∵当a=3时，
由ab＜a+2b得b＜a，
即b₁＜a₁，
与a₁＜b₁矛盾，
故a=3不合题意．
∴a=3舍去，
∴a=2．
（Ⅱ）a_m=2+（m-1）b，
b_n=b•2^n-1，
由a_m+3=b_n，
可得5+（m-1）b=b•2^n-1．
∴b（2^n-1-m+1）=5．
∴b是5的约数，
又b≥3，
∴b=5．
（Ⅲ）若甲正确，
则存在b（b≥3），
使2^2+（n-1）b＞b²•2^2n-2，
即2^{2+（n-1）（b-2）}＞b²对n∈N*恒成立，
当n=1时，
2²＞b²，无解，
所以甲所说不正确．
若乙正确，
则存在b（b≥3），
使2^2+（n-1）b＜b²•2^2n-2，
即2^{2+（n-1）（b-2）}＜b²对n∈N*恒成立，
当n=2时，
2^b＜b²，
只有在b=3时成立，
而当n=3时2⁴＜3²不成立，
所以乙所说也不成立．

点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，用两边夹的方法确定整数参数．第Ⅲ小题对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．