题目内容

隔河可以看到两个目标A、B，但不能到达，在岸边选取相距 $数学公式$ km的C、D两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°．A、B、C、D在同一个平面内，则两目标A、B间的距离为________km．

$\text{[math]}$
分析：利用△ACD的边角关系，算出出ACCD= $\text{[math]}$ ；在△BCD中，由正弦定理算出BC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．最后在△ACB中利用余弦定理加以计算，即可得出目标A、B间的距离．
解答：

解：∵在△ACD中，∠ADC=30°，∠ACD=75°+45°=120°，
∴∠CAD=30°，可得∠CAD=∠ADC
根据等角对等边，得AC=CD= $\text{[math]}$ ．
又∵在△BDC中，∠CBD=180°-（45°+75°）=60°．
∴由正弦定理，得BC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
在△ABC中，由余弦定理，得
AB²=AC²+BC²-2AC•BC•cos∠BCA=（ $\text{[math]}$ ）²+（ $\text{[math]}$ ）²-2× $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ cos75°=5
∴AB= $\text{[math]}$ ，即两目标A、B之间的距离为 $\text{[math]}$ km．
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题给出不能到达的两点A、B，叫我们利用解三角形的知识求A、B之间的距离．着重考查了特殊三角函数的值、利用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．