Question

（2012•泸州模拟）设函数f(x)=loga

1+x

1-x

(a＞0且a≠1)．
（I）求f(m)+f(n)-f(

m+n

1+mn

)的值；
（II）若关于x的方程loga

t

(1-x)(2x2-5x+5)

=f(x)在x∈[0，1）上有实数解，求实数t的取值范围．
（III）若f（x）的反函数f^-1（x）的图象过点(1，

1

3

)，求证：f-1(1)+f-1(2)+f-1(3)+…+f-1(n)＞n-

47

30

．

Answer 1

分析：（I）直接把变量代入，整理即可得到结论；
（II）先把所求问题转化为t=（1+x）（2x²-5x+5），在x∈[0，1）上有实数解，通过求其导数，即可求出其最大最小值，进而得到结论．
（III）先根据条件求出a，再结合放缩法即可得到结论的证明．

解答：解：（I）f(m)+f(n)-f(

m+n

1+mn

)
=log_a

1+m

1-m

+log_a

1+n

1-n

-f（

m+n

1+mn

）
=log_a（

1+m

1-m

•

1+n

1-n

）-f（

m+n

1+mn

）
=log_a

1+mn+(m+n)

1+mn-(m+n)

-f（

m+n

1+mn

）
=log_a

1+ m+n 1+mn

1- m+n 1+mn

-f（

m+n

1+mn

）
=f（

m+n

1+mn

）-f（

m+n

1+mn

）
=0．
（II）因为关于x的方程loga

t

(1-x)(2x2-5x+5)

=f(x)在x∈[0，1）上有实数解，
所以：log_a

t

(1-x)(2x2-5x+5)

=log_a

1+x

1-x

；
所以：

t

(1-x)(2x2-5x+5)

=

1+x

1-x

在x∈[0，1）上有实数解；
所以：t=（1+x）（2x²-5x+5），在x∈[0，1）上有实数解，
因为：t′=6x（x-1），且x∈[0，1）时，t′（x）＜0，
所以：t（x）在[0，1）上单调递减，
所以：t（1）＜t（x）≤t（0），即4＜t≤5，
所以：实数t的取值范围是：t（4，5]．
（III）因为f^-1（x）的图象过点(1，

1

3

)，
所以：

1

3

=

a-1

a+1

，解得a=2．
所以：f^-1（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

；
得：1-f^-1（x）=

2

2x+1

；
当n≥3时，
所以：（1-f^-1（1））+（1-f^-1（2））+（1-f^-1（3））+…+（1-f^-1（n））
=

2

21+1

+

2

22+1

+

2

23+1

+…+

2

2n+1

＜2（

1

3

+

1

5

+

1

23

+…+

1

2n

）
=2（

1

3

+

1

5

+

1

4

(1-

1

2n-2

)）
＜2（

1

3

+

1

5

+

1

4

）=

47

30

．
所以：f-1(1)+f-1(2)+f-1(3)+…+f-1(n)＞n-

47

30

．
因为：当n=1或n=2时，f-1(1)+f-1(2)+f-1(3)+…+f-1(n)＞n-

47

30

成立．
故f-1(1)+f-1(2)+f-1(3)+…+f-1(n)＞n-

47

30

对所有的正整数n成立．

点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．其中涉及到不等式的证明．