Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₅=7，a₉=-7．则下列四个命题中真命题是

（1）（2）（4）

．（填写序号）
（1）S₅＜S₇        （2）S₆＞S₈      （3）S₄=S₅      （4）S₅+S₇=S₆+S₈．

Answer 1

分析：根据等差数列的性质，由a₅=7，a₉=-7，可知{a_n}为递减数列且求得a₇=0，从而可对（1）、（2）、（3）、（4）进行判断．

解答：解：∵{a_n}为等差数列，a₅=7，a₉=-7，设其公差为d，则d＜0，
∵a₇是a₅与a₉的等差中项，
∴a₇=0，
∴a₁＞a₂＞…＞a₆＞a₇=0＞a₈＞a₉＞…
∴（1）S₅＜S₆=S₇，即（1）正确；
（2）S₆=S₇＞S₈，即（2）正确；
又S₄＜S₅，故（3））S₄=S₅错误；
对于（4），∵a₇=0，
∴S₆=S₇，①
由题意可知，等差数列{a_n}的前n项和为S_n是关于n的开口方向向下的二次函数，且其对称轴为n=

6+7

2

=

13

2

，
又点（5，S₅）与点（8，S₈）关于直线n=

13

2

对称，
∴S₅=S₈．②
由①②知，S₅+S₇=S₆+S₈，即（4）正确．
故答案为：（1）（2）（4）．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查等差数列的性质的综合应用，属于中档题．