题目内容

在正三棱锥S-ABC中，D是AB的中点，且SD与BC成45°角，则SD与底面ABC所成角的余弦值为________．

$\text{[math]}$
分析：先设出侧棱长为l，正三棱锥的底边长为a，利用异面直线所成角的概念及已知的所成角为45°建立l和a的方程，解出棱长l用a表示，再利用直线与平面所成角的概念可知SD与平面ABC所成的线面角即为∠SDO，然后在三角形SDO中求出此角的余弦值即可．
解答：由题意画出图形：由于三棱锥S-ABC为正三棱锥，

设侧棱为l，底面边长为a，因为D是AB的中点，且SD与BC成45°角，
如图取AC的中点E，因为DE∥BC，所以∠SDE=45°，
在直角三角形SDE可以得到l= $\text{[math]}$ a，
在直角三角形SOD中，OD= $\text{[math]}$ a，SD= $\text{[math]}$ a，SO= $\text{[math]}$ a，
因为SD与平面ABC所成的线面角即为∠SDO，
所以SD与底面ABC所成角的余弦值为cos∠SDO= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题重点考查了异面直线所成角的概念，考查直线与平面所成的线面角的概念及解题过程中方程的解题思想，属于中档题，解题的关键就是寻找线面所成角．