Question

10．已知数列{a_n}是递增等比数列，且a₁，a₃是方程x²-10x+16=0的两根．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列b_n=2log₂a_n-1，记数列$\{\frac{2}{{{b_n}{b_{n+1}}}}\}$的前n项和为S_n，求使S_n＞$\frac{5}{6}$成立的最小正整数n的值．

Answer 1

分析 （1）由x²-10x+16=0，解得x=2，8，可得a₁，a₃，再利用等比数列的通项公式即可得出；
（2）数列b_n=2log₂a_n-1=2n-1，可得$\frac{2}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$，再利用“裂项求和”、不等式的性质、数列的单调性即可得出．

解答 解：（1）由x²-10x+16=0，解得x=2，8．
∵a₁，a₃是方程x²-10x+16=0的两根，且a₁＜a₃．
∴a₁=2，a₃=8．
设等比数列{a_n}的公比为q＞0，则8=2q²，解得q=2．
∴${a}_{n}={2}^{n}$．
（2）数列b_n=2log₂a_n-1=2n-1，
∴$\frac{2}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$，
∴数列的前n项和为S_n=$（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$=1-$\frac{1}{2n+1}$．
由使S_n＞$\frac{5}{6}$，可得$1-\frac{1}{2n+1}$$＞\frac{5}{6}$，化为2n+1＞6，解得$n＞\frac{5}{2}$，其最小正整数n=3．
∴使S_n＞$\frac{5}{6}$成立的最小正整数n的值为3．

点评 本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式、“裂项求和”、不等式的性质、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．