Question

已知函数f(x)=-x， g(x)=

1-2x

1+2x

，H（x）=f（x）+g（x）
（1）判断并证明函数g（x）的单调性．
（2）当x∈[-

1

2

，1]时，求H（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）先判定函数的单调性，然后证明，在定义域中任取两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，然后判定g（x₁）-g（x₂）的符号，根据单调性的定义可得结论；
（2）根据两个单调减函数相加还为减函数可知H（x）在R上单调递减，可求出函数H（x）的最小值．

解答：解：（1）g(x)=

1-2x

1+2x

=-1+

2

1+2x

由2^x在R上单调递增，得g（x）为单调减函数．
证明：g(x)=

1-2x

2x+1

=-1+

2

2x+1

在定义域中任取两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂
g(x1)-g(x2)=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂
∴2x1＜2x2
从而g（x₁）-g（x₂）＞0
所以函数g（x）在x∈R上为单调减函数．．
（2）H（x）=f（x）+g（x）
=-x+

1-2x

1+2x

∵f（x）在R上单调减函数，g（x）在x∈R上为单调减函数
∴H（x）为R上的单调减函数，得H（1）最小，最小值为-

3

4

．

点评：本题主要考查了函数单调性的判断与证明，以及利用单调性研究函数最值，属于中档题．