Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，关于数列{a_n}有下列三个命题：
①若{a_n}既是等差数列又是等比数列，则an=an+1(n∈N*)；
②若Sn=an2+bn(a 、 b∈R)，则{a_n}是等差数列；
③若S_n=2-2a_n，则{a_n}是等比数列．
这些命题中，真命题的序号是

①，②，③

．

Answer 1

分析：利用前n项和公式求解通项公式，并验证n=1时，是否适合，n=1时∵a₁=s₁；n＞1时，a_n=s_n-s_n-1，再根据等差、等比数列定义判断．

解答：解：∵数列{a_n}既是等差又是等比，a_n+1-a_n=d，

an+1

an

=q，∵

an+1

an

=1+

d

an

=q，d、q都是常数，∴a_n为常数，∴①√；
∵a₁=s₁=a+b，n＞1，a_n=s_n-s_n-1=2an-a+b，∴n≥1，a_n=2an-a+b，
∵a_n+1-a_n=2a（n+1）-a+b-2an+a-b=2a（常数），∴{a_n}为等差数列，②√；
∵a₁=s₁=

2

3

，a₁+a₂=2-2a₂⇒a₂=

4

9

，∴

a2

a1

=

2

3

，当n＞1时，a_n=s_n-s_n-1=2-2a_n-2+2a_n-1，∴3a_n=2a_n-1⇒

an

an-1

=

2

3

∴{a_n}为等比数列，③√
故答案是①②③

点评：本题考查等差数列、等比数列的判断与证明，利用前n项和求解通项公式时，要验证n=1时是否适合．