Question

已知函数f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab，当，x∈（-3，2）时，f（x）＞0；当x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）时，f（x）＜0
（1）求f（x）在[-1，1]上的值域；
（2）c为何值时，ax²+bx+c≤0的解集为R．

Answer 1

分析：由题意判断函数的开口方向，方程的根求出a、b的值，推出函数的表达式，
（1）通过二次函数的对称轴，判断函数的单调性，求出函数的最值，得到函数的值域．
（2）利用函数的表达式，通过判别式的取值范围求出c的范围即可．

解答：解：由题意可知函数f（x）的图象是开口向下，交x轴于点A（-3，0）和B（2，0）的抛物线，
对称轴方程为x=-

1

2

那么有

0=a(-3)2+(b-8)×(-3)-a-ab 0=a×22+(b-8)×2-a-ab

 …（3分）
解得

a=0 b=8

或

a=-3 b=5

              …（5分）
经检验知

a=0 b=8

不符合题意，舍去
所以  f（x）=-3x²-3x+18              …（6分）
（1）由题意知，函数在[-1，-

1

2

]内为减函数，在[-

1

2

，1]内为增函数
故f（-

1

2

）=

75

4

，f（1）=12．
所以f（x）在[-1，1]内的值域是[12，

75

4

]     …（9分）
（2）令g（x）=-3x²+5x+c
要使g（x）≤0的解集为R，则需方程-3x²+5x+c=0的根的判别式△≤0
即，25+12c≤0，解得c≤-

25

12

              …（12分）

点评：本题考查二次函数的图象与性质，函数的解析式的求法，单调性的应用，二次函数在闭区间上的最值的求法，考查计算能力．