题目内容

已知向量 $数学公式$ ∥ $数学公式$ ．
（I）求f（x）的单调增区间及在 $数学公式$ 内的值域；
（II）已知A为△ABC的内角，若 $数学公式$ ，求△ABC的面积．

解：∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴f（x）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
=2sin（2x $\text{[math]}$ ）+1
（1）令 $\text{[math]}$ 可得 $\text{[math]}$ ，k∈Z
∴f（x）的单调增区间为[ $\text{[math]}$ ]k∈Z
由所求函数的单调递增区间可知，函数在 $\text{[math]}$ 单调递增
∴ $\text{[math]}$
（2）由题意可得，f（ $\text{[math]}$ ）=2sin（A+ $\text{[math]}$ ）+1=1+ $\text{[math]}$
∴sin（A+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
∵A∈（0，π）
∴ $\text{[math]}$
∴A+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
∴A= $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
∵a=1＜b= $\text{[math]}$
∴A= $\text{[math]}$ 不合题意
当A= $\text{[math]}$ 时，由正弦定理可得，sinB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵a＜b
∴A＜B
∴B= $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
当A= $\text{[math]}$ ，B= $\text{[math]}$ 时，C= $\text{[math]}$ ，此时S_△ABC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$

当A= $\text{[math]}$ ，B= $\text{[math]}$ 时，C= $\text{[math]}$ ，此时S_△ABC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分析：由 $\text{[math]}$ ，根据向量平行的坐标表示整理可求f（x）=2sin（2x $\text{[math]}$ ）+1
（1）令 $\text{[math]}$ 可求函数的单调增区间，由所求函数的单调递增区间可求函数在 $\text{[math]}$ 单调性，进而可求函数的值域
（2）由题f（ $\text{[math]}$ ）=1+ $\text{[math]}$ 及a＜b可求A，然后由正弦定理可得，sinB= $\text{[math]}$ 可求B，进而可求C，代入三角形的面积公式S_△ABC= $\text{[math]}$ 可求
点评：本题主要考查了向量平行的坐标表示的应用，三角函数的辅助角公式及正弦函数的性质、三角形的面积公式等知识的综合应用，具有一定的综合性