Question

某汽车队今年（1999年）初用98万元购进一辆大客车，并投入营运，第一年需缴各种费用1 2万元，从第二年开始包括维修费内，每年所缴费用均比上一年增加4万元，该车投入营运后每年的票款收入为50万元，设营运n年该车的盈利额为y（万元）．
（1）求出y表示为n的函数关系式；
（2）从哪一年开始，该汽车开始获利（即盈利为正值）？
（3）营运若干年后，对该汽车的处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以30万元的价格处理该车；②当盈利额达到最大值时，以12万元的价格处理该车；问用哪种方案处理该车较为合算？为什么？

Answer 1

分析：（1）根据题意知该车的盈利额为y=n年的票款收入-n年的维修费-98可得y与n的关系式；
（2）因为y是关于n的开口向下的二次函数，令y=0求出与x轴的交点横坐标，利用图象得到y大于0时n取值范围，根据n取正整数得到即可；
（3）求出

y

n

利用基本不等式求出年平均盈利的最大值，算出收益，再利用二次函数求最值求出总营业额的最大值，算出收益，比较哪个大且时间短可得哪个合算．

解答：解：（1）由题意知：y=50n-[12n+

n(n-1)

2

×4]-98，化简得y=-2n²+40n-98；
（2）令y=0，解得x=10±

51

，由于y时开口向下的抛物线，根据图象可知10-

51

＜n＜10+

51

时，y的值为正
∵n∈N，∴3≤n≤17，故从2001年开始获利；
（3）①

y

n

=-2n+40-

98

n

≤12，当且仅当n=7，即到2005年年平均盈利达到最大值，共获利12×7+30=114万元．
②y=-2（n-10）²+102，当n=10时，y_max=102，即到2008年共获利102+12=114万元，故两种方案获利相同，但方案②的时间长，所以用方案①处理合算．

点评：考查学生根据实际问题选择函数关系的能力，利用二次函数、一次函数图象及性质解决实际问题的能力，以及利用基本不等式求最值的能力．