Question

已知数列{a_n}满足：a1=

1

2

，an+1=an2+an，用[x]表示不超过x的最大整数，则[

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2011+1

]的值等于（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：由题意说明数列的项为正，化简数列递推关系式为

1

an+1

=

1

an

-

1

an+1

，求出

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2011+1

的范围，即可求出表达式的最大整数．

解答：解：又因为an+1=an2+an，即an+1-an =an2＞0，所以数列是增数列，
并且

1

an

＞0，
又因为an+1=an2+an，即an+1=an (1+an)，

1

an+1

=

1

an•(1+an)

=

1

an

-

1

1+an

所以

1

an+1

=

1

an

-

1

an+1

，即

1

an+1

=

1

an

-

1

an+1

，

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2011+1

=

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

a2010

-

1

a2011

=

1

a1

-

1

a2011

＜

1

a1

=2，
a1=

1

2

，a2=

3

4

，a3=

16

21

，

1

a1+1

+

1

a2+1

=

2

3

+

4

7

＞1．
所以

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2011+1

∈（1，2）．
所以[

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2011+1

]=1．
故选B．

点评：本题考查数列的递推关系式的应用，新定义的应用，确定表达式的取值范围是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．