Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AA1=

3

，AD=2

2

，P为C₁D₁的中点，M为BC的中点．
（Ⅰ）证明：AM⊥PM；
（Ⅱ）求AD与平面AMP所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角P-AM-D的大小．

Answer 1

分析：（I）以D点为原点建立空间直角坐标系D-xyz如图所示，可得D、P、C、A、M各点的坐标，从而得出

PM

、

AM

的坐标，计算出

PM

•

AM

=0即可得到AM⊥PM；
（II）利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组解出

n

=(

2

，1，

3

)是平面PAM的一个法向量，结合

DA

的坐标算出cos＜

DA

，

n

＞的值，利用直线与平面所成角的定义即可得到AD与平面AMP所成角的正弦值；
（III）向量

n

=(

2

，1，

3

)是平面PAM的一个法向量，而平面AMD的法向量为

m

=(0，0，1)，算出

m

、

n

夹角的余弦值等于

2

2

，从而得到二面角P-AM-D的大小为45°．

解答：解：（Ⅰ）以D点为原点，DA、DC、DD₁为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz…（1分）
可得D(0，0，0)，P(0，1，

3

)，C(0，2，0)，A(2

2

，0，0)，M(

2

，2，0)．
∴

PM

=(

2

，2，0)-(0，1，

3

)=(

2

，1，-

3

)，

AM

=(

2

，2，0)-(2

2

，0，0)=(-

2

，2，0)，
由此可得

PM

•

AM

=(

2

，1，-

3

)•(-

2

，2，0)=0，
即

PM

⊥

AM

，可得AM⊥PM．                …（4分）
（Ⅱ）设平面PAM的一个法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n • PM =0 n • AM =0

，即

2 x+y- 3 z=0 - 2 x+2y=0

解得

z= 3 y x= 2 y

，
取y=1，得

n

=(

2

，1，

3

)，…（6分）
∴AD与平面AMP所成角θ的正弦值
sinθ=|cos＜

DA

，

n

＞|=

| DA • n |

| DA || n |

=

|(2 2 ，0，0)•( 2 ，1， 3 )|

2 2 ( 2 )2+12+( 3 )2

=

3

3

．                …（9分）
（Ⅲ）由（II），向量

n

=(

2

，1，

3

)是平面PAM的一个法向量，
∵平面AMD的法向量为

m

=(0，0，1)，可得cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

3

6

=

2

2

∴向量

m

，

n

的所成角等于45°，观察图形可得：二面角P-AM-D的大小等于45°．…（13分）

点评：本题利用空间向量的方法证明线线垂直，并求直线与平面所成角和平面与平面所成角的大小．着重考查了空间坐标系的建立、空间向量的坐标运算与向量的数量积等知识，属于中档题．