题目内容

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b²+c²-a²=bc．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）设函数f（x）= $数学公式$ ，当f（B）取最大值 $数学公式$ 时，判断△ABC的形状．

解：（Ⅰ）在△ABC中，因为b²+c²-a²=bc，由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA可得cosA= $\text{[math]}$ ．
∵0＜A＜π，∴A= $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）函数f（x）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ sinx+ $\text{[math]}$ cosx+ $\text{[math]}$ =sin（x+ $\text{[math]}$ ），
∵A= $\text{[math]}$ ，∴B∈（ 0， $\text{[math]}$ ），∴ $\text{[math]}$ ＜B+ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ．
∴当B+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 B= $\text{[math]}$ 时，f（ B）有最大值是 $\text{[math]}$ ．
又∵A= $\text{[math]}$ ，∴C= $\text{[math]}$ ，∴△ABC为等边三角形．
分析：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理求得cosA= $\text{[math]}$ ，根据 A的范围，求求出 A的大小．
（Ⅱ）利用二倍角公式化简函数f（x）的解析式为sin（x+ $\text{[math]}$ ），再利用角B+ $\text{[math]}$ 的范围，确定当f（B）取最大值 $\text{[math]}$ 时角A和角 C 的大小，从而判断三角形的形状．
点评：本题考查余弦定理的应用，二倍角及两角和差的三角公式的应用．