Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=

3

2

an-1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）在数列{b_n}中，b₁=5，b_n+1=b_n+a_n，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（I）当n=1时，a1=

3

2

a1-1，a₁=2．当n≥2时，∵Sn=

3

2

an-1，Sn-1=

3

2

an-1(n≥2)，由此得a_n=3a_n-1，从而能够得到数列{a_n}的通项公式．
（II）由b_n+1=b_n+a_n，得b_n=b_n-1+2•3^n-2，b₃=b₂+2×3，b₂=b₁+2×3⁰，相加得b_n=b₁+2×（3^n-2+…+3+3⁰）=5+

1-3n-1

1-3

=3n-1+4，由此能求出数列{b_n}的通项公式．

解答：解：（I）当n=1时，a1=

3

2

a1-1，∴a₁=2．（2分）
当n≥2时，∵Sn=

3

2

an-1①
Sn-1=

3

2

an-1(n≥2)②
①-②得：an=(

3

2

an-1)  -(

3

2

an-1-1)，即a_n=3a_n-1，（3分）
∴数列{a_n}是首项为2，公比为3的等比数列．（4分）
∴a_n=2×3^n-1．（6分）
（II）∵b_n+1=b_n+a_n，
∴当n≥2时，b_n=b_n-1+2•3^n-2，
b₃=b₂+2×3，
b₂=b₁+2×3⁰，（8分）
相加得b_n=b₁+2×（3^n-2+…+3+3⁰）
=5+

1-3n-1

1-3

=3n-1+4．（11分）
（相加（1分），求和（1分），结果1分）
当n=1时，3^1-1+4=5=b₁，（12分）
∴b_n=3^n-1+4．（13分）

点评：第（Ⅰ）题考查迭代法求数列通项公式的方法，第（II）考查累加法求通项公式的方法，解题时要认真审题，仔细解答．