题目内容
某商场准备在伦敦奥运会期间举行促销活动．根据市场行情，该商场决定从3种品牌的服装类商品、2种品牌的家电类商品、4种品牌的日用类商品中，任选出3种商品进行促销活动．
（Ⅰ）求选出的3种商品中至少有一种是日用类商品的概率；
（Ⅱ）商场对选出的家电类商品采用的促销方案是有奖销售，即在该类商品成本价的基础上每件提高180元作为售价销售给顾客，同时给该顾客3次抽奖的机会，若中奖一次，就可以获得一次奖金．假设该顾客每次抽奖时获奖的概率都是
，每次中奖与否互不影响，且每次获奖时的奖金数额都为x元，求顾客购买一件此类商品时中奖奖金总额ξ的分布列和数学期望Eξ，并以此测算x至多为多少时，此促销方案使商场不会亏本？
（Ⅰ）求选出的3种商品中至少有一种是日用类商品的概率；
（Ⅱ）商场对选出的家电类商品采用的促销方案是有奖销售，即在该类商品成本价的基础上每件提高180元作为售价销售给顾客，同时给该顾客3次抽奖的机会，若中奖一次，就可以获得一次奖金．假设该顾客每次抽奖时获奖的概率都是
| 1 | 2 |
分析：（I）设选出的3种商品中至少有一种是日用商品为事件A，利用间接法能求出选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率．
（Ⅱ）设顾客抽奖的中奖奖金总额为ξ，则ξ的可能取值为0，x，2x，3x，分别求出P（ξ=0），P（ξ=x），P（ξ=2x），P（ξ=3x），由此能求出顾客中奖次数的数学期望Eξ，从而能求出此促销方案使商场不会亏本的每次中奖的奖金数额．
（Ⅱ）设顾客抽奖的中奖奖金总额为ξ，则ξ的可能取值为0，x，2x，3x，分别求出P（ξ=0），P（ξ=x），P（ξ=2x），P（ξ=3x），由此能求出顾客中奖次数的数学期望Eξ，从而能求出此促销方案使商场不会亏本的每次中奖的奖金数额．
解答：解：（I）设选出的3种商品中至少有一种是日用商品为事件A，
则P（A）=1-
=
．
即选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率为
．
（Ⅱ）设顾客抽奖的中奖奖金总额为ξ，则ξ的可能取值为0，x，2x，3x，
P（ξ=0）=（1-
）（1-
）（1-
）=
，
P（ξ=x）=
(1-
)2×
=
，
P（ξ=2x）=
(1-
)×(
)2=
，
P（ξ=3x）=
×
×
=
，
∴顾客中奖次数的数学期望Eξ=0×
+x×
+2x×
+3x×
=
x，
设商场将每次中奖的奖金额定为x元，则
x≤180，解得x≤120，
即该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为120元，才能使商场不亏本．
则P（A）=1-
| ||
|
| 37 |
| 42 |
即选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率为
| 37 |
| 42 |
（Ⅱ）设顾客抽奖的中奖奖金总额为ξ，则ξ的可能取值为0，x，2x，3x，
P（ξ=0）=（1-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 8 |
P（ξ=x）=
| C | 1 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 8 |
P（ξ=2x）=
| C | 2 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 8 |
P（ξ=3x）=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 8 |
∴顾客中奖次数的数学期望Eξ=0×
| 1 |
| 8 |
| 3 |
| 8 |
| 3 |
| 8 |
| 1 |
| 8 |
| 3 |
| 2 |
设商场将每次中奖的奖金额定为x元，则
| 3 |
| 2 |
即该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为120元，才能使商场不亏本．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年高考中都是必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合和概率知识的灵活运用．
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，每次中奖与否互不影响，且每次获奖时的奖金数额都为
元，求顾客购买一件此类商品时中奖奖金总额
的分布列和数学期望
，并以此测算
，每次中奖与否互不影响，且每次获奖时的奖金数额都为x元，求顾客购买一件此类商品时中奖奖金总额ξ的分布列和数学期望Eξ，并以此测算x至多为多少时，此促销方案使商场不会亏本？
，每次中奖与否互不影响，且每次获奖时的奖金数额都为x元，求顾客购买一件此类商品时中奖奖金总额ξ的分布列和数学期望Eξ，并以此测算x至多为多少时，此促销方案使商场不会亏本？