Question

已知椭圆内一定点M(m，0)(m≠0)和直线：，直线与轴交点为K．

(1)过M的任意直线与椭圆交于A、B两点，证明：∠AKM=∠BKM；

(2)过点K的直线与椭圆相交于A、E两点，设，过点E且平行于直线的直线与椭圆相交于另一点B，证明：．

Answer 1

解：(1)过点A作直线的垂线，垂足为D，过点B作直线的垂线，垂足为C，

设A()，，则B()，

将点A、B的坐标分别代入椭圆方程得    ①

  ②

       将①式两端同乘以得    ③

       消去得，

       ∵，约去化简得

       ，

       即，即

       于是，∴△BKC∽△AKD，

       ∴∠BKC=∠AKD，故∠AKM=∠BKM．

       (2)先证明B、M、A三点共线，作直线AM与椭圆交于另一点B₁．

       由(1)知，∠B₁KM=∠AKM，

      由对称性易知EB₁⊥轴，故点B₁与点B重合，

即AB经过点M，过A、B、E分别作直线的垂线，垂足分别是D、C、R，

由知，即．