题目内容

已知f（x）=1+log₂x（1≤x≤4），记g（x）=2f²（x）+f（2x）-7
（1）求函数g（x）的定义域．
（2）求函数g（x）的零点．

解：（1）∵f（x）=1+log₂x（1≤x≤4），
∴g（x）=2f²（x）+f（2x）-7
=2（1+log₂x）²+1+log₂2x-7
=2（log₂x）²+5log₂x-3．
∴函数g（x）的定义域是{x|1≤x≤4}．
（2）由g（x）=2（log₂x）²+5log₂x-3=0，
得 $\text{[math]}$ ，或log₂x=-3，
∴ $\text{[math]}$ ，或 $\text{[math]}$ ．
∴函数g（x）的零点是 $\text{[math]}$ ，或 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）g（x）=2f²（x）+f（2x）-7=2（1+log₂x）²+1+log₂2x-7=2（log₂x）²+5log₂x-3．由此能求出函数g（x）的定义域．
（2）由g（x）=2（log₂x）²+5log₂x-3=0，得 $\text{[math]}$ ，或log₂x=-3，由此能求出函数g（x）的零点．
点评：本题考查函数定义域的求法和求函数的零点，解题时要认真审题，注意函数性质的灵活运用．

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下列说法：
①用“辗转相除法”求得243，135 的最大公约数是9；
②命题p：?x∈R，x2-x+

＜0，则?p是?x0∈R，x02-x0+

≥0；
③已知条件p：x＞1，y＞1，条件q：x+y＞2，xy＞1，则条件p是条件q成立的充分不必要条件；
④若

=(1，0，1)，

=(-1，1，0)，则＜

；
⑤已知f(n)=

，则f（n）中共有n²-n+1项，当n=2时，f(2)=

；
⑥直线l：y=kx+1与双曲线C：x²-y²=1的左支有且仅有一个公共点，则k的取值范围是-1＜k＜1或k=

．
其中正确的命题的序号为

已知f（x）=lnx，g（x）=

x2+mx+n，直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切于点（1，0）
（1）求直线l的方程及g（x）的解析式；
（2）若h（x）=f（x）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的值域．

已知f（x）=e^x，g（x）=lnx．
（Ⅰ）求证：g（x）＜x＜f（x）；
（Ⅱ）设直线l与f（x）、g（x）均相切，切点分别为（x₁，f（x₁））、（x₂，g（x₂）），且x₁＞x₂＞0，求证：x₁＞1．

已知f（x）、g（x）都是定义在R上的函数，若存在实数m、n使得h（x）=m•f（x）+n•g（x），则称h（x）为f（x）、g（x）在R上生成的函数．若f（x）=2cos²x-1，g（x）=sinx．
（1）判断函数y=cosx是否为f（x）、g（x）在R上生成的函数，并说明理由；
（2）记l（x）为f（x）、g（x）在R上生成的一个函数，若l(

)=2，且l（x）的最大值为4，求l（x）．

（2012•江门一模）已知f（x）=x²，g（x）=lnx，直线l：y=kx+b（常数k、b∈R）使得函数y=f（x）的图象在直线l的上方，同时函数y=g（x）的图象在直线l的下方，即对定义域内任意x，lnx＜kx+b＜x²恒成立．
试证明：
（1）k＞0，且-lnk-1＜b＜-

；
（2）“e-

＜k＜e”是“lnx＜kx+b＜x²”成立的充分不必要条件．