Question

数列{a_n}中，a₁=2，且满足a_n+2-2a_n+1+a_n=0（n∈N^*），{a_n}的前项和为S_n，S₃=12．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ） 令bn=an•3n（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和的公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知变形可得数列{a_n}为等差数列，又可得公差，结合首项可得通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：bn=2n•3n，符合错位相减法求和的特征，下面由错位相减法即可的答案．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+2-2a_n+1+a_n=0，∴a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n
∴{a_n+1-a_n}为常数列，∴{a_n}是以a₁为首项的等差数列
∵a₁=2，a₁+a₂+a₃=12∴3a₁+3d=12，即d=2
∴a_n=2+（n-1）•2=2n．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：bn=2n•3n
∴其前n项和Tn=2•3+4•32+6•33+…+2n•3n①
同乘以3得，3Tn=2•32+4•33+6•34+…+2n•3n+1②
①-②得-2Tn=2•3+2•32+2•33+…+2•3n-2n•3n+1
=

6(1-3n)

1-3

-2n•3n+1
∴Tn=

3-3n+1

2

+n•3n+1=

3

2

+(n-

1

2

)3n+1…（12分）

点评：本题为数列的通项和求和的综合应用，涉及等差数列的判定以及错位相减法求和，属中档题．