Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率是

6

3

，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k₁，k₂，若点A，B关于原点对称，则k₁•k₂的值为（　　）

• A．

  1

  2

• B．-

  1

  2

• C．

  1

  3

• D．-

  1

  3

Answer 1

分析：设点M（x，y），A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），代入椭圆方程可得y2=b2-

b2x2

a2

，

y

2 1

=b2-

b2 x 2 1

a2

，
利用斜率计算公式即可得出k₁•k₂=

y-y1

x-x1

•

y+y1

x+x1

=

y2- y 2 1

x2- x 2 1

=-

b2

a2

=

c2

a2

-1=e²-1．

解答：解：设点M（x，y），A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），
则y2=b2-

b2x2

a2

，

y

2 1

=b2-

b2 x 2 1

a2

，
∴k₁•k₂=

y-y1

x-x1

•

y+y1

x+x1

=

y2- y 2 1

x2- x 2 1

=-

b2

a2

=

c2

a2

-1=e²-1=(

6

3

)2-1=-

1

3

．
故选D．

点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其对称性、斜率计算公式是解题的关键．