Question

正项数列{a_n}，其前n项和为S_n并且满足：a_n+1²-a_n²=2ⁿ（S_n+1-S_n+a_n）且a₁=1，n∈N*．
（I）求数列{a_n}的通项公式．
（II）若，判断数列{b_n}的单调性，并证明之．

Answer 1

解：（I）∵a_n+1²-a_n²=2ⁿ（S_n+1-S_n+a_n）且a₁=1，n∈N*．
∴（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=2ⁿ（a_n+1+a_n），
∴a_n+1-a_n=2ⁿ，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+2+2²+…+2^n-1
=2ⁿ-1．
（II）=，此数列是增数列．用数学归纲法证明如下：
（1），∴b₂＞b₁．
（2）假设b_k＞b_k-1，即，
则＞0，
即b_k+1＞b_k．
由（1）、（2）知，是增数列．
分析：（I）由题设知（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=2ⁿ（a_n+1+a_n），a_n+1-a_n=2ⁿ，由此用叠加法能求出数列{a_n}的通项公式．
（II）数列{b_n}是增数列．用数学归内法进行证明．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．