题目内容

已知函数f（x）=e^x-ex
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）对于函数h（x）= $数学公式$ x²与g（x）=elnx，是否存在公共切线y=kx+b（常数k，b）使得h（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b在函数h（x），g（x）各自定义域上恒成立？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）由f′（x）=e^x-e=0，∴x=1．∴f（x）在（-∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增．∴f（x）的最小值为0

（Ⅱ）设 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∴当 $\text{[math]}$ 时，F′（x）＜0，函数F（x）单调递减；当 $\text{[math]}$ 时，F′（x）＞0，函数F（x）单调递增．
∴ $\text{[math]}$ 是函数F（x）的极小值点，也是最小值点，∴ $\text{[math]}$ ，∴函数f（x）与h（x）的图象在 $\text{[math]}$ 处有公共点 $\text{[math]}$ （9分）
设f（x）与h（x）存在公共切线且方程为： $\text{[math]}$ ，令函数 $\text{[math]}$ ，
ⅰ）由 $\text{[math]}$ 在x∈R恒成立，即 $\text{[math]}$ 在R上恒成立，
∴ $\text{[math]}$ 成立，
∴ $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ ．（11分）
ⅱ）下面再证明： $\text{[math]}$ 恒成立
设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．
∴当 $\text{[math]}$ 时，φ′（x）＞0，函数φ（x）单调递增；当 $\text{[math]}$ 时，φ′（x）＜0．函数φ（x）单调递减．∴ $\text{[math]}$ 时φ（x）取得最大值0，则 $\text{[math]}$ （x＞0）成立．（13分）
综上ⅰ）和ⅱ）知： $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，
故函数f（x）与h（x）存在公共切线为 $\text{[math]}$ ，此时 $\text{[math]}$ ．（14分）
分析：（Ⅰ）要求函数的最小值，需要求出导函数并令其等于零得到x=1，然后分区间x＜1和x＞1，讨论函数的增减性来判断函数的极值，得到函数的最小值即可．
（Ⅱ）设 $\text{[math]}$ ，原问题转化为研究此函数的单调性问题，利用导数知识解决．
点评：本题考查了对数函数的导数运算，研究函数的最值问题．考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识．