Question

已知函数f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1（a∈R）
（1）当a=1时，求曲线在点（3，f（3））处的切线方程
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）求出f（3）及f′（3）的值，代入点斜式方程即可得到答案；
（2）确定函数的定义域，求导函数，分类讨论，即可求得函数单调区间．

解答：解：（1）f′(x)=

1

x

-a+

a-1

x2

，其中x∈（0，+∞）
f′(3)=-

2

3

，f(3)=ln3-4，y-f(3)=-

2

3

(x-3)
切线方程：

2

3

x+y+2-ln3=0
（2）f′(x)=

-[ax2-x+1-a]

x2

=-

[ax-(1-a)](x-1)

x2

（x∈（0，+∞））
令g（x）=-[ax-（1-a）]（x-1）
当a=0，g（x）=x-1，x∈（1，+∞）时，g（x）＞0⇒f'（x）＞0⇒f（x）单调递增
当a＞0，g(x)=-a[x-

(1-a)

a

](x-1)，若

1-a

a

=1，则a=

1

2

当0＜a＜

1

2

，x∈(1，

1-a

a

)，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
当a=

1

2

，f（x）在（0，+∞）上无递增区间
当1≥a＞

1

2

，x∈(

1-a

a

，1)，f′(x)＞0，f(x)单调递增
当a＞1时，x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增

点评：本题考查导数的几何意义，考查函数的单调区间，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．