Question

（08年十校联考） （14分） 已知点

（1）求轨迹E的方程；

（2）若直线过点且与轨迹交于两点，

①无论直线绕点怎样转动，在轴上总存在定点，使恒成立，求实数的值；

②过作直线的垂线,求的取值范围。

Answer 1

解析：（1）由知，点的轨迹是以为焦点的双曲线右支，

由得，故轨迹的方程为                  3分

（2）当直线的斜率存在时，设直线方程为

与双曲线方程联立消去得：

∴，解得                                                                       5分

①

∵，∴，

故得对任意的恒成立，

∴，解得，∴当时，              8分

当直线的斜率不存在时，由及知结论也成立

综上，当时，                                                                                 9分

②∵，∴直线是双曲线右准线，

由双曲线定义得

∴

∵，∴，故

注意到直线的斜率不存在时，，此时

综上，                                                                                                             14分