Question

已知函数f(x)=

1

x2

+|x2-a|（常数a∈R⁺）
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性并说明理由；
（Ⅱ）试研究函数f（x）在定义域内的单调性，并利用单调性的定义给出证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先要考虑函数的定义域，然后利用函数奇偶性的定义即可获得问题的解答；
（Ⅱ）首先将绝对值函数转化为分段函数，然后分类讨论不同段上的函数单调性即可，讨论时用定义法即可．

解答：解：（1）定义域为：（-∞，0）∪（0，+∞）
∵f(-x)=

1

(-x)2

+|(-x)2-a|=

1

x2

+|x2-a|=f(x)，
∴f（x）是偶函数．
（2）f（x）=

1 x2 +x2-a(x≤- a 或x≥ a ) 1 x2 -x2+a(- a ＜x＜ a )

（a∈R⁺）
1⁰若x≤-

a

或x≥

a

，则f（x）=

1

x2

+x2-a，设

a

≤x1＜x2，f(x1)-f(x2)=

1

x 2 1

+

x

2 1

-

1

x 2 2

-

x

2 2

=(

x

2 2

-

x

2 1

)(

1

x 2 1 x 2 2

-1)
由

a

≤x₁＜x₂?x₁²x₂²≥a²?

1

x 2 1 x 2 2

≤

1

a2

且x₂²-x₁²＞0，
当

1

a2

＜1?a 时，f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[

a

，+∞)上是增函数；
又f（x）是偶函数，f（x）在(-∞，-

a

]上是减函数．
当

1

a2

≥1?0＜a≤1时，

a

≤x1＜x2≤1时，

1

x 2 1 x 2 2

＞1?f(x1)＞f(x2)，1≤x₁＜x₂时，

1

x 2 1 x 2 2

＜1?f(x1)＜f(x2)．
∴f（x）在[

a

，1]上是减函数，
在[1，+∞）上是增函数；
又f（x）是偶函数，在[-1，-

a

]上是增函数，
在（-∞，-1]上是减函数．
2⁰若-

a

≤x≤

a

(x≠0)，则f（x）=

1

x2

-x2+a，
设-

a

≤x1＜x2≤

a

，同理∴f（x）在(0，

a

]上是减函数，
又f（x）是偶函数，于是f（x）在[-

a

，0)上是增函数．
由1⁰2⁰知：当0＜a≤1时，f（x）在（0，1]上是减函数，
在[1，+∞）上是增函数，在（-∞，-1]上是减函数，在[-1，0）上是增函数；
当a＞1时，f（x）在(0，

a

]上是减函数，在[

a

，+∞)上是增函数，
在(-∞，-

a

]上是减函数，在[-

a

，0)上是增函数．

点评：本题考查的是函数奇偶性与单调性判断与证明的问题．在解答的过程当中充分体现了函数奇偶性和单调性的定义、分类讨论的思想以及问题转化的能力．值得同学们体会和反思．