Question

【题目】已知函数.

(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；

(2)若对于任意的恒成立，求满足条件的实数m的最小值M .

(3)对于(2)中的M，正数a，b满足，证明: .

Answer 1

【答案】(1) 当时， 为偶函数, 当时，既不是奇函数也不是偶函数，理由见解析；(2)2；(3) 证明见解析.

【解析】

(1)对分类讨论,结合奇偶性的定义进行判断可得;

(2)将不等式转化为对任意的都成立,再构造函数,利用单调性求出最大值即可得到答案;

(3)由(2)知,所以,再根据变形可证.

(1)(i)当m=1时，，,

因为,

所以为偶函数；

(ii)当时,,,,,

所以既不是奇函数也不是偶函数.

(2) 对于任意的,即恒成立，

所以对任意的都成立,

设,

则为上的递减函数,

所以时,取得最大值1,

所以,即.

所以.

(3)证明: 由(2)知,

，所以,

,

，当且仅当时取等号，①

又

，当且仅当时取等号，②

由①②得，,

所以,