Question

已知函数f（x）=e^x-x（e是自然对数的底数）
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Π）不等式f（x）＞ax的解集为P，若M={x|

1

2

≤x≤2}，且M∩P≠∅，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）已知n∈N+，且Sn=

∫

n 0

f(x)dx，是否存在等差数列a_n和首项为f（1）公比大于0的等比数列b_n，使数列a_n+b_n的前n项和等于S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导f'（x）=e^x-1由f'（x）=0，解得x=0，易知当x＞0时，f'（x）＞0当x＜0时，f'（x）＜0故f（x）在x=0处取得最小值．
（Ⅱ）M∩P≠∅，即不等式f（x）＞ax在区间[

1

2

，2]有解，转化为a＜

ex

x

-1在区间[

1

2

，2]有解，只要求得g(x)=

ex

x

-1，x∈[

1

2

，2]的最大值即可．
（Ⅲ）先设存在公差为d首项等于f（1）的等差数列a_n和公比q大于0的等比数列b_n，使得数列a_n+b_n的前n项和等于S_n
由Sn=

∫

n 0

f(x)dx=ex-

1

2

n2，再由数列通项与前n项和之间的关系求解，若能求和d和q则为存在，否则为不存在．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=e^x-1
由f'（x）=0，解得x=0
当x＞0时，f'（x）＞0
当x＜0时，f'（x）＜0
故f（x）在（-∞，+∞）连续，故f_min（x）=f（0）=1
（Ⅱ）∵M∩P≠∅，即不等式f（x）＞ax在区间[

1

2

，2]有解，
f（x）＞ax可化为（a+1）x＜e^x只需a＜

ex

x

-1在区间[

1

2

，2]有解
令g(x)=

ex

x

-1，x∈[

1

2

，2]
即a＜g_max（x）∵g′(x)=

(x-1)ex

x2

故g（x）在区间[

1

2

，1]递减，在区间[1，2]递增
又g(

1

2

)=2

e

-1
g(2)=

1

2

e2-1，且g(2)＞g(

1

2

)
∴gmax=(x)=g(2)=

1

2

e2-1
所以，实数a的取值范围为(-∞，

1

2

e2-1)

（Ⅲ）设存在公差为d首项等于f（1）的等差数列a_n
和公比q大于0的等比数列b_n，使得数列a_n+b_n的前n项和等于S_n
∵Sn=

∫

n 0

f(x)dx=en-

1

2

n2-1
b₁=f（1）=e-1
∴a1+b1=S1=e-

1

2

-1，故a1=-

1

2

又n≥2a_n+b_n=S_n-S_n-1=e^n-1（e-1）-

2n-1

2

故n=2，3，有

- 1 2 +d+(e-1)q=e(e-1)- 3 2 1 2 +2d+(e-1)q2=e2(e-1)- 5 2

即d+（e-1）q=e（e-1）-1①2d+（e-1）q²=e²（e-1）-2②
②-①×2得q²-2q=e²-2e解得；q=e或q=2-e（舍去）
故q=e，d=-1
此时，an=-

2n-1

2

，bn=(e-1)ex-1数列a_n+b_n的前n项和等于

n(a1+an)

2

+

b1(1-qn)

1-q

=-

1

2

n2+

(e-1)(1-ex)

1-e

=-

1

2

n2+ex-1=S
故存在满足题意的等差数列a_n金额等比数列b_n，使得数列a_n+b_n的前n项和等于S_n

点评：本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，还考查了不等式有解或恒成立问题，以及数列的通项与前n项和及其关系．