Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+c（x∈R）的图象与直线15x-y+10=0相切于点（-1，-5），且函数f（x）在x=4处取得极值．
（1）求f（x）的解析式；   （2）求f（x）的极值．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数得到函数值为15，把x=-1代入f（x）得到函数值为-5，把x=4代入导函数得到函数值为0，列出关于a，b和c的方程组，求出方程组的解即可得到a，b和c的值，代入即可确定出f（x）；
（2）把（1）求出的a和b代入导函数中确定出解析式，令导函数等于0求出x的值，根据x的值分区间讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间，得到函数的极大值和极小值．

解答：.解：（1）求出导函数得：f′（x）=3ax²+2bx，
由题意可知：

f′(-1)=15 f(-1)=-5 f′(4)=0

，即

3a-2b=15 -a+b+c=-5 48a+8b=0

，
解得：

a=1 b=-6 c=2

，∴f（x）=x³-6x²+2；
（2）把a=1，b=-6代入导函数得：f′（x）=3x²-12x，
由f′（x）=0，解得x=0或x=4，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，4）	4	（4，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值2	↓	极小值-30	↑

∴当x=0时，f（x）取得极大值2，当x=4时，f（x）取得极小值-30．

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导函数的正负判断函数的单调性并根据函数的增减性得到函数的极值，是一道中档题．