Question

【题目】在平面直角坐标系中，点，直线，圆：.

（Ⅰ）求的取值范围,并求出圆心坐标;

（Ⅱ）若圆的半径为1，过点作圆的切线，求切线的方程；

（Ⅲ）有一动圆的半径为1，圆心在上，若动圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)的取值范围为，圆心坐标为；（Ⅱ） ；(Ⅲ)

【解析】

(Ⅰ)把圆的方程配成标准式，方程右边需大于零，即可求得参数的取值范围。

（Ⅱ）已知圆的圆心坐标为，当半径为1时，可求得圆的标准方程；用待定系数法求过圆外一点的切线方程，分析直线的斜率存在与否，如存在设斜率为，利用圆心到直线的距离等于半径即可得到方程，解得.

（Ⅲ）设出圆心的坐标，表示出圆的方程，进而根据，点在的中垂线上，由坐标已知，从而可求的中垂线方程，根据在圆上，进而确定不等式关系求得的范围．

(Ⅰ) 化为

由，∴ 的取值范围为，圆心坐标为

（Ⅱ）由(Ⅰ)知圆的圆心的坐标为，当半径为1时，

圆的方程为: 将代入

得，∴在圆外,

设所求圆的切线方程为，∴

∴∴

∴ ∴所求圆的切线方程为:

即.

(Ⅲ)∵圆的圆心在直线上,所以,设圆心，又半径为1，

则圆的方程为: ，

又∵，

∴点在的中垂线上，的中点得直线:

∴点应该既在圆上又在直线上，即:圆和直线有公共点

∴ ，∴ 终上所述, 的取值范围为: